√2 を無限回累乗してみる

おととい、会社の同僚から、
 \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2} \dots}}}}} = 2 (※)
という等式が成り立つことを教えてもらいました。
無理数乗という "極限操作" を無限回行うと、また元の値に戻る、というのが何か面白いですよね。
彼から、「どう証明するのか?」と質問されたので、ぼくなりに証明を付けてみました。
急いで書いたので間違いがあるかもしれないけど、興味のある方はどうぞ。


(※) は、数学的に定式化すると、次のように書けます。

主張 1


実数列
 \{I_n\}_{n \geq 1}
は、以下の 2 つの条件を満たすものとする。
(1) I_1 = \sqrt{2}
(2) 任意の n \geq 1 について、
 I_{n+1}= \sqrt{2}^{I_n}
が成り立つ。


このとき、次が成立する。
 \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 2

これを証明します。

証明

先ず、実数列  \{I_n\} \quad (n \geq 1) n \rightarrow \infty で収束することを示す。 そのためには、次の (A)、(B) を示せばよい *1

(A) 実数列  \{I_n\} \quad (n \geq 1) は狭義単調増加列である。


(B) 任意の n \geq 1 について、
 I_{n} < 2
が成り立つ。

(A)、(B) 共に n についての帰納法で証明できるので、(A) についてのみ付けてみます。

(A) の証明

n についての帰納法

n = 1 のとき。

 I_{2} = 2, \quad I_{1} = \sqrt{2} より成立は自明。

n のときの成立を仮定し、 n+1 のときの成立を示す。

 I_{n+1} > I_n より、
 \sqrt{2}^{I_{n+1}} > \sqrt{2}^{I_n} が成立するが、(2) より、この式は
 I_{(n+1)+1} > I_{n+1}
に他ならない。 【(A) の証明 終】


これにより、
 \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = \alpha
を満たす実数  \alpha の存在は示せた。あとは  \alpha が 2 に等しいことを示す。
いま、(2) の式を  n \rightarrow \infty で極限を取ると、
 \alpha = \sqrt{2}^{\alpha}
が得られる。この方程式を解くと、
 \alpha = 2, 4
であるが、(B) より  \alpha = 4 ではない。
これで、
 \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 2
が証明された。【証明 終】




まぁ、(※) 式のおどろおどろしさに惑わされずに、素直に漸化式を立てたら解けちゃいますね。


でも、主張 1 は、もっと一般的な形で書くことが出来ます。

主張 2


1 より大きい実数  a に対し、実数列
 \{I_{a, n}\}_{n \geq 1}
は、以下の 2 つの条件を満たすものとする。
(1) I_{a,1} = a^{1/a}
(2) 任意の n \geq 1 について、
 I_{a, n+1}= (a^{1/a})^{I_{a,n}}
が成り立つ。


このとき、次が成立する。
 \lim_{n \rightarrow \infty} I_{a,n} = a

主張 2 は主張 1 の  a = 2 のヴァージョンになります。
主張 2 でも、主張 1 の証明で用いた (A)、(B) と同様のことが成立するので、主張 1 と全く同じ方針で証明することが出来ます。

ちなみに

個人的には、興味が「√2 を無限回累乗する」というところから逸れてしまってて、このタイプの数列がどんな条件で収束するか?ってのを調べてみたいですね。
具体的に書くとこんな感じ。

宿題


1 より大きい実数  t に対し、実数列
 \{J_{t, n}\}_{n \geq 1}
は、以下の 2 つの条件を満たすものとする。
(1) J_{t,1} = t
(2) 任意の n \geq 1 について、
 J_{t, n+1}= t^{J_{t,n}}
が成り立つ。*2


このとき、実数列  \{J_{t, n}\} \quad (n \geq 1) が収束するような  t の上限  T を求めよ。

主張 2 を用いると、
 T \geq e^{1/e}
までは分かるんですけどね。
あと、 n \geq 1 に対し、 J_{2, n} \geq 2^n だから、
 T < 2
も。


時間のあるときに考えてみます。

更新 (2009 年 6 月 3 日)

上の「宿題」について、WolframAlphaで√2^√2^√2・・・ - 小人さんの妄想 で、数値的に
 T = e^{1/e}
であることを計算してくださっているようです。
ありがとうございます!
また考えてみます。

*1:「上に有界な単調増加列は収束する」ので。

*2:主張 2 と表記がずれてて申し訳ないです。。

ショパン ノクターン 20 番 嬰ハ短調 (遺作) について

今回は珍しく、ショパンについて書いてみたいと思います。


ショパンノクターン 20 番 嬰ハ短調 Lento con gran espressione (下の楽譜は Peters 版です)

ってぼくの周りではなかなか人気のある曲なんですけど、8 小節目の左手の Fis 音 (ファ#) を Dis 音 (レ#) で弾いてる人が多くて、それにずっと違和感を感じてました。
こんなカタルシスを感じるべきところで、なんでベースの和音がこんなモサっとした響きになるんだろう??って。
それで、こないだの日曜に、近所の楽譜屋に行っていろいろな版を見てみたのですが、どうやら、全音の楽譜には Dis 音で書かれているようです。


そこまでだったら「全音には Dis って書かれてたのかー。それだったら、ノクターン 20 番を弾く場合はいろんな版の楽譜も見て、Dis か Fis のどっちが良いか検討して欲しいなー。」ってので話は終わりなのですが、ウィーン原典版の解説を見ると、今度は

8 (小節目)  左手:CK *1 は最初と 5 番目の 8 分音符を誤って嬰ニ音としている。

と書かれてて、またまた混乱してしまいました。
「Dis が変だと『思う』」というのと、「Dis が『誤って』いる」というのは、全然違います。
「Dis が『誤って』いる」と断言するためには、主観的な感情論じゃなくて、客観的な根拠が必要になってきます。
何か理由があるのだろうか?(やっぱり、先ずは楽典を勉強しろ!!ってことかしら。)
ウィーン原典版のように書かれると、逆に、盲目的に Fis だと結論付けるのが、なんだか恐ろしく思えてきます。


確かにぼくは、8 小節目の左手のベースの音を Dis で弾かれるとおかしいとは思うけど、Fis じゃないとダメという客観的根拠 *2 が見つからない現時点では、一応は Dis の可能性も残しておきたいわけです。
まぁ結局、「Dis はおかしいと思うけど、『何も考えずに Dis はダメ』というのも危険な気がする・・・。」というグダグダなことしか書けませんでした。。


ところで、ショパンって不器用な人だったらしく、彼の手紙によると (といっても、別の本で知った知識なのですが。。)、

今回は保養のために行くんだと決心してノアンに赴くんですけど、やっぱり絵を描きたくてうずうずしてきて、サンドの服だか下着だかをカンバスにして絵を描こうとする。その時に、何回やってもうまくカンバスを貼れなくて、自分はいつまでたってもこういうことが下手だと嘆いているんです。 *3

こんなお茶目な (?) 一面があるようです。
有名人のブログを見ることで有名人を身近に感じるようなもので、こういう話を聞くと、ショパンもより身近な存在に思えてきますね。

*1:オスカル・コルベルクによる筆写譜 のこと

*2:そもそも、このような問題に「客観的根拠」なんてあり得るのか?って突っ込みもありそうだけど。

*3:「ディアローグ」、平野啓一郎 対談集、講談社、ISBN078-4-06-214390-5、p126 より引用