中学数学に大苦戦！ - ひらのの日記

問題 1

下図において、 $\triangle ABC$ を $AB=AC$ の二等辺三角形とする。
このとき、 $x$ を求めよ。

この手の問題なら、複素数平面で考えて偏角出せばカンタンに解けるだろう、と思ってたのですが、、
計算してもしても式が簡単にならない！
$sin(20^{\circ})$ の 10 何次式、とか出てきてましたからねぇ。。

1 週間近くずーーっと、ひらのの日記の準備も、 5 月に弾くパルティータ第 2 番の譜読みもせずに、この計算ばかりしてたのですが、全然進みませんでした。

一昨日、ついにこの状況に我慢ができなくなって、分度器を買ってきてそれらしい図を描いて、実際に角度を測ってみました。
そしたら 16 度っぽい数字になったので、この辺の値にならないかな〜と再度計算したけど、上手く行かず。。
そんなとき、たまたまこのサイト↓
解答編
を見つけて愕然としました。
どうやら、問題 1 の設定が違ってたようです。がーん…。

∠ $BCE = 50^{\circ}$

のときに、

$x = 30$

になるみたいです。

この証明 (∠ $BCE = 50^{\circ}$ の場合の証明) を以下に付けておきます。
おヒマな方はどうぞ。
あと、間違いなどがあったら教えてください。(急いで書いたので。。)

その前に、表記と方針を書いておきます。

表記

$BC=1$ とする *1。
$A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $\ldots$ に対応する複素数を、それぞれ、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $\ldots$ とする。
$c-b=1$ とする。( $BC$ が実軸と平行、という意味)

方針

$\frac{d-e}{d-b}$ の偏角を求める。
その為に、辺 $BD$ の長さ、辺 $BE$ の長さを、初等幾何の方法で求める。

証明：ステップ 1　(辺 $BD$ の長さ、辺 $BE$ の長さを求める)

$\triangle BCE$ は、 $BC=BE$ の二等辺三角形になるので、
$BE=1$
になる。
$\triangle BCD$ について正弦定理を適用すると、
$\frac{BC}{\sin(2 \pi \cdot \frac{40}{360})} = \frac{BD}{\sin(2 \pi \cdot \frac{80}{360})}$
より、
$BD = 2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})$
となる。

証明：ステップ 2　(複素数平面の問題として証明する)

まず、ステップ 1 より、

$e-b=\exp(2 \pi i \cdot \frac{80}{360})$
$d-b= 2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360}) \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{60}{360})$

である。
よって、 $x = 30$ を示すためには、
$\frac{d-e}{d-b} = \frac{(d-b)-(e-b)}{d-b} = 1 - \frac{1}{2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})} \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{20}{360})$
が、
$r \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{-30}{360})$ (r は実数)
という形で書けることを示せばよい *2。
つまり、
$(1 - \frac{1}{2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})} \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{20}{360})) \cdot \frac{1}{\exp(2 \pi i \cdot \frac{-30}{360})} = \exp(2 \pi i \cdot \frac{30}{360}) - \frac{1}{2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})} \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{50}{360})$ …(★)
が実数、言い換えれば虚部が 0 であることを示せば十分。

(★) の虚部は
$\sin(2 \pi \cdot \frac{30}{360}) - \frac{1}{2 \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})} \cdot \sin(2 \pi \cdot \frac{50}{360})$
であるが、
$\sin(2 \pi \cdot \frac{50}{360})= \cos(2 \pi \cdot \frac{40}{360})$
なのだから、これは 0 になる。　(証明終)