予想 - ひらのの日記

中学数学に大苦戦！ - ひらのの日記
の続きです。

前の記事の問題 1 で不必要に時間をかけすぎたせいか、ただ 1 問解いただけではなんだか報われない気がするので、何か適当な結果を捏ち上げるために (笑) こんな予想を立ててみました。

予想

下図において、 $\triangle ABC$ を $AB=AC$ の二等辺三角形とし、 $0 < x, y < 80$ とする。
このとき、 $x, y, z$ 共に整数の組は、自明なもの *1 を除くと、以下の 16 通りである。

x = 50, y = 20, z = 60
x = 65, y = 25, z = 85
x = 60, y = 30, z = 80
x = 50, y = 40, z = 60
x = 20, y = 50, z = 10
x = 40, y = 50, z = 30
x = 60, y = 50, z = 80
x = 70, y = 50, z = 110
x = 30, y = 60, z = 10
x = 50, y = 60, z = 30
x = 65, y = 60, z = 85
x = 70, y = 60, z = 110
x = 25, y = 65, z = 5
x = 60, y = 65, z = 40
x = 50, y = 70, z = 10
x = 60, y = 70, z = 20

x と y をひっくり返しただけ、というのもあるので、この条件下で、本質的に異なる非自明な (x, y, z) の組はたった 8 組だけ、という予想になります。
もしこれが正しいとすると、、中学で出てきた図形の角度を求める問題って、かなり特殊な状況下での出来事だったんですね。
中学の図形問題を作るのって、大変だったんだなぁ。。

メモ

この「予想」はどうやって立てたかというと、アイデアは前の記事と全く同じで、あとは C++ でコードを書いて、それを実行して出しました。
具体的には、以下の通りです *2。

アルゴリズム

$\frac{d-e}{d-b}$ を x、y で表す。
$\frac{d-e}{d-b} \cdot \exp(2 \pi i \cdot \frac{z}{360})$ の虚数部分は z の関数になるが、それを f(z) と書く。
z = 1, 2, ... , 179 において、f(z) = 0 となる z を探す。
1 〜 3 の作業を、すべての x, y = 1, 2, ... , 79 について行う。